| 内容试读 | 河南省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（一）考试科目高等数学 考生姓名 考生编号 报考单位注 意 事 项1.答题前，考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上，并在答题卡上填（涂）对应的信息。 2.所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。 3.考试结束后，将试题和答题卡一并交回。 高等数学考前押密试卷（一）第页（共14页）河南省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（一）第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.当x→0时，无穷小x sinx是x的（） A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 2.函数f(x)=ln1-x1 x是（） A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数D.不确定 3.若函数y=f(x)的定义域是［0,2022］，则函数g(x)=f(x 1)x-1的定义域是（）lt;p-> 河南省普通高等教育专升本考试lt;br /-> 高等数学考前押密试卷（一）考试科目高等数学lt;br /-> 考生姓名lt;br /-> 考生编号lt;br /-> 报考单位注lt;br /-> 意lt;br /-> 事lt;br /-> 项1.答题前，考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上，并在答题卡上填（涂）对应的信息。lt;br /-> 2.所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。lt;br /-> 3.考试结束后，将试题和答题卡一并交回。lt;br /-> 高等数学考前押密试卷（一）第页（共14页）河南省普通高等教育专升本考试lt;br /-> 高等数学考前押密试卷（一）第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.当x→0时，无穷小x sinx是x的（）lt;br /-> A.高阶无穷小B.低阶无穷小lt;br /-> C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小lt;br /-> 2.函数f(x)=ln1-x1 x是（）lt;br /-> A.偶函数B.奇函数lt;br /-> C.非奇非偶函数D.不确定lt;br /-> 3.若函数y=f(x)的定义域是［0,2022］，则函数g(x)=f(x 1)x-1的定义域是（）lt;br /-> A.［-1,2021］B.［-1,1)∪(1,2021］lt;br /-> C.［0,2022］D.［-1,1)∪(1,2022］lt;br /-> 4.极限limx→0xsin1x 1xsinx=（）lt;br /-> A.0B.1lt;br /-> C.2D.不存在lt;br /-> 5.极限limx→∞2x3 3x-1x3-2x 1=（）lt;br /-> A.-1B.1lt;br /-> C.2D.-2lt;br /-> 6.设f(x)在x0处可导，若limh→0f(x0 2h)-f(x0-h)h=3，则f′(x0)=（）lt;br /-> A.-1B.0C.1D.3lt;br /-> 7.函数y=x-ln(1 x)的单调增区间为（）lt;br /-> A.(-∞,0)B.(-1,0)lt;br /-> C.(0, ∞)D.(-1, ∞)lt;br /-> 8.极限limx→ ∞lnxx 2=（）lt;br /-> A.0B.1C.2D. ∞lt;br /-> 9.设f(x)=x1x-1，则（）lt;br /-> A.limx→1f(x)不存在lt;br /-> B.点x=1为f(x)的类间断点lt;br /-> C.点x=1为f(x)的第二类间断点lt;br /-> D.f(x)在点x=1处连续lt;br /-> 10.若函数f(x)=1-x2 kx在区间［0,1］上满足罗尔定理的条件，则常数k=（）lt;br /-> A.-1B.0lt;br /-> C.1D.2lt;br /-> 11.已知函数y=f(u)可导，若y=f(-x2)，则微分dy=（）lt;br /-> A.-2xf′(-x2)lt;br /-> B.-2xf′(-x2)dxlt;br /-> C.f′(-x2)lt;br /-> D.f′(-x2)dxlt;br /-> 12.设函数f(x)在点x0的邻域内有定义，在点x0处二阶可导，并且f′(x0)=0, f″(x0)≠0，那么函数f(x)在点x0处（）lt;br /-> A.一定取得极值lt;br /-> B.取得极小值lt;br /-> C.取得极大值lt;br /-> D.不能被判断是否取得极值lt;br /-> 13.曲线y=2x2-100x(x 1)2的水平渐近线为（）lt;br /-> A.y=1B.y=2lt;br /-> C.x=-1D.x=50 lt;br /-> 14.已知∫f(x)dx=sinx C，则f′(x)=（）lt;br /-> A.cosxB.sinxlt;br /-> C.-sinxD.-cosxlt;br /-> 15.已知y=f(x)由方程ex-ey=xy所确定，则dydx=（）lt;br /-> A.y-exey xB.ex-yey xlt;br /-> C.ey xex-yD.ey xy-exlt;br /-> 16.不定积分∫1x2-x-6dx=（）lt;br /-> A.15lnx-3x 2 CB.12lnx 2x-3 Clt;br /-> C.12lnx-3x 2 CD.15lnx-3x 2 Clt;br /-> 17.幂级数∞n=1nxn的收敛区间是（）lt;br /-> A.(-1,1］B.(0,2)lt;br /-> C.［-1,1)D.(-1,1)lt;br /-> 18.设I1=∫10tanxxdx，I2=∫10sinxxdx，则（）lt;br /-> A.I1->I2->1B.I2->I1->1lt;br /-> C.I1->1->I2D.I2->1->I1lt;br /-> 19.微分方程xy″-5(y′)3 3xy=0的阶数是（）lt;br /-> A.1B.2lt;br /-> C.3D.5lt;br /-> 20.设二元函数z=x2y xsiny，则zx=（）lt;br /-> A.2xy sinyB.x2 xcosylt;br /-> C.2xy xsinyD.x2y sinylt;br /-> 21.已知a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是（）lt;br /-> A.π6B.π3lt;br /-> C.2π3D.5π6lt;br /-> 22.设常数p∈(0,1)，则反常积分I1=∫ ∞11xpdx，I2=∫ ∞1pxdx的敛散性为（）lt;br /-> A.I1与I2都收敛B.I1与I2都发散lt;br /-> C.I1收敛，I2发散D.I1发散，I2收敛lt;br /-> 23.二次积分∫21dx∫2-x0f(x,y)dy交换积分次序后得（）lt;br /-> A.∫21dy∫2-y0f(x,y)dxlt;br /-> B.∫10dy∫2-y0f(x,y)dxlt;br /-> C.∫10dy∫22-yf(x,y)dxlt;br /-> D.∫10dy∫2-y1f(x,y)dxlt;br /-> 24.设级数∞n=1un收敛于S，则级数∞n=1(un un 1)收敛于（）lt;br /-> A.SB.2Slt;br /-> C.2S u1D.2S-u1lt;br /-> 25.微分方程y″-3y′ 2y=ex·sinx的特解形式可设为（）lt;br /-> A.aexsinxlt;br /-> B.xex(acosx bsinx)lt;br /-> C.axexsinxlt;br /-> D.ex(acosx bsinx)lt;br /-> 第Ⅱ卷lt;br /-> 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）26.已知f(x)=2x3x-1，则反函数f-1(x)=。lt;br /-> 27.极限limx→∞1-2xx-1=。lt;br /-> 28.若函数f(x)=3ex,xlt;0，2x a,x≥0在x=0处连续，则a的值为。lt;br ->lt;/0-> 29.微分方程y″-9y=0的通解为y=。lt;br /-> 30.已知limx→1x3 ax-2x2-1=2，则a=。lt;br /-> 31.已知y=sin2x sinx2，则dydx=。lt;br /-> 32.设曲线y=x2 x-2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标是。lt;br /-> 33.函数F(x)=∫x11-1tdt(x->0)的单调减区间是。 lt;br /-> 34.不定积分∫tan2xdx=。lt;br /-> 35.向量a={4,-3,4}在b={2,2,1}上的投影为。lt;br /-> 36.已知平面2x-y 3z-1=0与平面(a 1)x 3y-az 2=0垂直，则a的值为。lt;br /-> 37.定积分∫1-1x3 1x2 1dx的值为。lt;br /-> 38.设z=xy，则全微分dz=。lt;br /-> 39.设D为圆环域1≤x2 y2≤4，则二重积分D1x2 y2dσ=。lt;br /-> 40.级数∞n=1(-1)n-14n的和S=。lt;br /-> 三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）41.求极限limn→∞1n 1 1n 2 … 1n n。lt;br /-> 42.求曲线x=t22，y=t2(t-1)在t=2处的切线方程与法线方程。lt;br /-> 43.求不定积分∫2 x1 x2dx。lt;br /-> 44.设函数f(x)=2x-1(x-1)2，求函数f(x)的单调区间和极值，并求y=f(x)的凹凸区间和拐点。lt;br /-> 45.求定积分∫21(2x 1)lnxdx。lt;br /-> 46.已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)，B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积。lt;br /-> 47.设方程e-xy-2z ez=0确定隐函数z=z(x,y)，求zx及zy。 lt;br /-> 48.求微分方程(x 1)y′-2y=(x 1)5的通解。 lt;br /-> 49.计算二重积分Dcosx2dxdy，其中D是由x=2，y=0和y=x所围成的闭区域。lt;br /-> 50.求幂级数∞n=1xnn·2n的收敛域及和函数。lt;br /-> 四、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）51.求由曲线y=lnx，x=e与y=0所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕x轴旋转所形成旋转体的体积V。lt;br /-> 52.一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k->0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，问雪堆全部融化需要多长时间。lt;br /-> 五、证明题（本大题共1小题，共6分）53.设函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)。证明：存在ξ,η∈(0,1)，使得f′(ξ) f′(η)=0。河南省普通高等教育专升本考试lt;br /-> 高等数学考前押密试卷（一）参考答案及解析第Ⅰ卷一、单项选择题lt;br /-> 1.【答案】Clt;br /-> 【解析】limx→0x sinxx=limx→01 sinxx=2，故选C。lt;br /-> 2.【答案】Blt;br /-> 【解析】1-x1 x->0-1lt;xlt;1，即函数的定义域关于原点对称，lt;br ->lt;/x-> f(-x)=ln1 x1-x=ln1-x1 x-1=-ln1-x1 x=-f(x)，lt;br /-> 所以f(x)为奇函数。lt;br /-> 3.【答案】Blt;br /-> 【解析】由y=f(x)的定义域为［0,2022］可知要使函数f(x 1)有意义，则需满足0≤x 1≤2022，解得-1≤x≤2021，故函数f(x 1)的定义域为［-1,2021］。又x-1≠0，因此x≠1。故函数g(x)的定义域为［-1,1)∪(1,2021］。lt;br /-> 4.【答案】Blt;br /-> 【解析】limx→0xsin1x 1xsinx=limx→0xsin1x limx→01xsinx=0 1=1，故选B。lt;br /-> 5.【答案】Clt;br /-> 【解析】由“抓大头”的方法可知，limx→∞2x3 3x-1x3-2x 1=limx→∞2x3x3=2，故选C。lt;br /-> 6.【答案】Clt;br /-> 【解析】limh→0f(x0 2h)-f(x0-h)h=3limh→0f(x0 2h)-f(x0-h)3h=3f′(x0)=3，因此f′(x0)=1，故选C。lt;br /-> 7.【答案】Clt;br /-> 【解析】函数定义域为x->-1，y′=1-11 x=x1 x，y′->0时，函数单调递增，此时x->0。故选C。lt;br /-> 8.【答案】Alt;br /-> 【解析】当x→ ∞时，limx→ ∞lnx= ∞，limx→ ∞(x 2)= ∞，由洛必达法则可知lt;br /-> limx→ ∞lnxx 2=limx→ ∞1x=0，lt;br /-> 故选A。lt;br /-> 9.【答案】Blt;br /-> 【解析】limx→1f(x)=limx→1x1x-1=limx→1［1 (x-1)］1x-1=e，左右极限都存在，但函数在x=1处无意义，故函数不连续，x=1是f(x)的类间断点。lt;br /-> 10.【答案】Clt;br /-> 【解析】f(0)=1, f(1)=k，由罗尔定理的条件可知f(x)在区间端点处的函数值相等，则k=1，故选C。lt;br /-> 11.【答案】Blt;br /-> 【解析】y′=［f(-x2)］′=f′(-x2)·(-x2)′=-2xf′(-x2)，dy=-2xf′(-x2)dx，故选B。lt;br /-> 12.【答案】Alt;br /-> 【解析】函数在x0点二阶可导，则在x0点一定连续，又因为f′(x0)=0, f″(x0)≠0，所以由极值判断第二充分条件可知选项A是正确的。 lt;br /-> 13.【答案】Blt;br /-> 【解析】limx→∞2x2-100x(x 1)2=limx→∞2x2-100xx2 2x 1=limx→∞2-100x1 2x 1x2=2，lt;br /-> 所以水平渐近线为y=2，故选B。lt;br /-> 14.【答案】Clt;br /-> 【解析】f(x)=∫f(x)dx′=cosx，故f′(x)=-sinx，故选C。lt;br /-> 15.【答案】Blt;br /-> 【解析】令F(x,y)=ex-ey-xy，F′x=ex-y，F′y=-ey-x，则dydx=-F′xF′y=ex-yey x，故选B。lt;br /-> 16.【答案】Dlt;br /-> 【解析】∫1x2-x-6dx=∫1(x-3)(x 2)dx=15∫1x-3-1x 2dx=15lnx-3x 2 C，故选D。lt;br /-> 17.【答案】Dlt;br /-> 【解析】ρ=limn→∞n 1n=1，R=1ρ=1，因此收敛区间为(-1,1)，故选D。lt;br /-> 18.【答案】Clt;br /-> 【解析】当0lt;xlt;1时，tanxx->1->sinxx，则I1->1->I2，故选C。lt;br /-> 19.【答案】Blt;br /-> 【解析】此微分方程的未知函数其导数的阶数为2，故选B。lt;br /-> 20.【答案】Alt;br /-> 【解析】因为z=x2y xsiny，则zx=2xy siny。故选A。lt;br /-> 21.【答案】Blt;br /-> 【解析】设向量a和b的夹角为θ，则由(a-2b)⊥a及(b-2a)⊥b得(a-2b)·a=0,(b-2a)·b=0,即a2-2bacosθ=0,b2-2abcosθ=0，解得a=b，cosθ=12，因此θ=π3，故选B。lt;br /-> 22.【答案】Dlt;br /-> 【解析】当0lt;plt;1时，i1=∫ ∞11xpdx=11-px1-p ∞1= ∞，i1发散；i2=∫ ∞1pxdx=pxlnp ∞1=-plnp，i2收敛。故选d。lt;br ->lt;/p-> 23.【答案】Dlt;br /-> 【解析】如图所示，积分区域D：0≤y≤2-x,1≤x≤2转化为区域D：1≤x≤2-y,0≤y≤1,故lt;br /-> ∫21dx∫2-x0f(x,y)dy=∫10dy∫2-y1f(x,y)dx。lt;br /-> 24.【答案】Dlt;br /-> 【解析】已知级数∞n=1un收敛于S，即∞n=1un=u1 u2 … un …=S，则lt;br /-> ∞n=1(un un 1)=(u1 u2) (u2 u3) … (un un 1) …lt;br /-> =2(u1 u2 … un …)-u1=2S-u1,lt;br /-> 故选D。lt;br /-> 25.【答案】Dlt;br /-> 【解析】微分方程的特征方程为r2-3r 2=0，解得特征根为r1=1，r2=2，可知λ=1±i不是特征方程的根，所以特解形式设为y=ex(acosx bsinx)。故选D。lt;br /-> 第Ⅱ卷lt;br /-> 二、填空题lt;br /-> 26.【答案】x3x-2x≠23lt;br /-> 【解析】由y=2x3x-1，解得x=y3y-2，故反函数为f-1(x)=x3x-2x≠23。lt;br /-> 27.【答案】e-2lt;br /-> 【解析】limx→∞1-2xx-1=limx→∞1-2x-x2·-2x·(x-1)=elimx→∞-2x·(x-1)=e-2。lt;br /-> 28.【答案】3lt;br /-> 【解析】limx→0-f(x)=3，limx→0 f(x)=a, f(0)=a，所以a=3。lt;br /-> 29.【答案】C1e3x C2e-3xlt;br /-> 【解析】特征方程为r2-9=0，解得r1=3，r2=-3，故通解为y=C1e3x C2e-3x。lt;br /-> 30.【答案】1lt;br /-> 【解析】因为limx→1x3 ax-2x2-1=2，又limx→1(x2-1)=0，所以limx→1(x3 lt;/plt;1时，i1=∫ ∞11xpdx=11-px1-p ∞1= ∞，i1发散；i2=∫ ∞1pxdx=pxlnp ∞1=-plnp，i2收敛。故选d。lt;br ->lt;/1->lt;/xlt;1时，tanxx->lt;/xlt;1，即函数的定义域关于原点对称，lt;/p->显示全部信息 |