在十五五期间，园林部门可以通过以下方式推动城市精细化管理：

1. 建立完善的城市绿化管理体系：建立完善的城市绿化管理体系，明确各部门职责，加强部门间的协作，确保城市绿化工作的有序开展。
2. 实施精细化的绿化管理：对城市绿化进行精细化管理，包括对绿化植物的品种、生长状况、养护情况等进行定期检查和评估，及时发现问题并进行整改。
3. 加强绿化设施建设：加大对城市绿化设施的投入，包括公园、广场、街头绿地等，提高城市绿化水平，改善市民生活环境。
4. 推广绿色低碳生活方式：通过宣传教育，推广绿色低碳生活方式，鼓励市民参与城市绿化工作，提高市民的环保意识。
5. 引入先进技术和管理模式：积极引入先进的技术和管理模式，如数字化管理、智能化养护等，提高城市绿化的科技含量和管理水平。
6. 加强人才培养：加强园林部门人才队伍建设，提高员工的素质和能力，为推动城市精细化管理提供人才保障。

通过以上措施的实施，园林部门可以推动城市精细化管理的实现，提高城市绿化水平，改善市民生活环境，促进城市的可持续发展。