上班期间送货回来下车时自己关车门把自己的手压骨折，责任应该由自己承担。

在工作期间，员工应当严格遵守工作场所的安全规定，包括交通规则和操作规程。自己关车门时不慎压伤手臂，属于违反安全规定的行为，应当对自己的行为承担相应的责任。

当然，具体的情况还需要考虑一些因素，如：公司是否有提供安全培训？员工是否知道正确的下车和关车门的方法？以及是否有其他人在场可以提供证言等。如果公司没有提供安全培训或者员工没有遵守安全规定，那么公司可能也需要承担一定的责任。

建议向公司的人力资源部门或者法律顾问咨询，了解自己的权利和责任，并协商解决这个问题。