为了解决这个问题，我们需要对函数$f(x)$进行求导，并找到使函数$f(x)$的图像经过四个象限的条件。

首先，函数$f(x)$的导数为：
$f^{\prime}(x) = a - \frac{x + 2}{x + 1}$

为了使函数$f(x)$的图像经过四个象限，我们需要找到$a$的取值范围，使得函数$f^{\prime}(x)$在$(0, + \infty)$上小于零，且函数$f(x)$在$(0, + \infty)$上的图像不过第二、三象限。

根据上述条件，我们可以得到以下不等式组：

$\left\{
\begin{aligned}
a < 0 \\
f^{\prime}(x) < 0 \\
\lim_{x \longrightarrow + \infty} f(x) > 0 \\
\end{aligned}
\right$.

为了简化问题，我们可以将问题转化为求解上述不等式组的解集。由于该不等式组只有两个不等式，我们可以通过解不等式组来求解$a$的取值范围。

解这个不等式组，我们得到：

$- \frac{2}{3} < a < 0$

所以，$a$的取值范围为：$- \frac{2}{3} < a < 0$。