国营医院与月嫂合作运营并不违规。

首先，国营医院是国家经营的医疗机构，其职责是提供医疗服务和健康保障。而月嫂是提供母婴护理服务的服务者，她们有丰富的经验和技能来照顾新生婴儿和产妇。因此，国营医院与月嫂合作运营是一种互补的合作方式，能够为母婴提供更全面、更专业的服务。

当然，这种合作运营需要遵守相关法律法规和行业标准，确保双方的行为合法合规。此外，双方在合作中需要建立明确的职责和权利，确保服务质量得到保障。

总之，国营医院与月嫂合作运营是一种可行的合作方式，只要遵守相关法律法规和行业标准，确保服务质量得到保障，就可以实现共赢。